مثلثات

مثلثات یکی از شاخه‌های ریاضیات است که روابط میان طول اضلاع و زاویه‌های مثلث را مطالعه می‌کند. نخستین کاربرد مثلثات در مطالعات ستاره‌شناسی بوده‌است. اکنون، مثلثات کاربردهای زیادی در ریاضیات محض و کاربردی دارد.

بعضی از روش‌های بنیادی تحلیل، مانند تبدیل فوریه و معادلات موج، از توابع مثلثاتی برای توصیف رفتار تناوبی موجود در بسیاری از فرایندهای فیزیکی استفاده می‌کنند. هم‌چنین مثلثات پایه علم نقشه‌برداری است.

ساده‌ترین کاربرد مثلثات در مثلث قائم‌الزاویه است. هر شکل هندسی دیگری را نیز می‌توان به مجموعه‌ای از مثلث‌های قائم‌الزاویه تبدیل نمود. شکل خاصی از مثلثات، مثلثات کروی است که برای مطالعه مثلثات روی سطوح کروی و منحنی به کار می‌رود.

تاریخچه

احتمالاً مثلثات برای استفاده در ستاره شناسی ایجاد شده و کاربردهای اولیه آن نیز در همین باره بوده است.

واژگان مثلثات در متون فارسی و عربی قدیم با امروزه تفاوت داشت. برخی از این تفاوت‌ها از این قرار است[1]:

نام قدیم در فارسی	معنی نام	نام امروزی
جیب	گریبان	سینوس
جیب تمام	گریبان پُر	کسینوس
ظل، ظل مع*	سایه	تانژانت
ظل تمام، ظل مستوی	سایه پر	کتانژانت
قاطع، قطر ظل	بُرنده	سکانت
قاطع تمام	برنده پر	کسکانت

تابع‌های اصلی مثلثات

اجزای مثلث قائم الزاویه

نوشتار اصلی: تابع‌های مثلثاتی

مجموع زاویه‌های داخلی مثلث برابر 180 درجه است. بنابراین در مثلث قائم‌الزاویه با داشتن مقدار یک زاویه تند، می‌توان مقدار زاویه دیگر را به دست آورد. با مشخص بودن زاویه‌ها می‌توان نسبت میان اضلاع را یافت. به این ترتیب، اگر اندازه یک ضلع معلوم باشد، اندازه دو ضلع دیگر قابل محاسبه است. نسبت میان اضلاع مثلث، با استفاده از توابع مثلثاتی زیر، محاسبه می‌شود. در شکل روبرو، برای زاویه تند A که مجاور وتر c و ضلع b و روبرو به ضلع a است، داریم:

تابع سینوس که به صورت نسبت ضلع مقابل به وتر تعریف می‌شود: $\sin A=\frac{a}{\,c\,}$
تابع کسینوس که به صورت نسبت ضلع مجاور به وتر تعریف می‌شود: $\cos A=\frac{b}{\,c\,}$
تابع تانژانت که به صورت نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور تعریف می‌شود: $\tan A=\frac{a}{\,b\,}=\frac{a}{\,c\,}*\frac{c}{\,b\,}=\frac{a}{\,c\,} / \frac{b}{\,c\,}=\frac{\sin A}{\cos A}\,.$

توابع مثلثاتی برای زاویه B نیز به همین ترتیب قابل محاسبه هستند. از آن‌جایی که ضلع مقابل زاویه A مجاور زاویه B است و برعکس، سینوس یک زاویه برابر با کسینوس زاویه دیگر است. به عبارت دیگر: $\sin A=\cos B$ و $\cos A=\sin B$ .

عکس تابع‌های بالا نیز با نام‌های سکانت (مع* کسینوس)، کسکانت (مع* سینوس) و کتانژانت (مع* تانژانت) تعریف می‌شوند.

سکانت:	$\sec A=\frac{1}{\cos A}=\frac{c}{b}$
کسکانت:	$\csc A=\frac{1}{\sin A}=\frac{c}{a}$
کتانژانت:	$\cot A=\frac{1}{\tan A}=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b}{a}$

دایره واحد مثلثاتی

نوشتار اصلی: دایره واحد

نمایش تابع‌های مثلثاتی زاویه θ روی دایره واحد مثلثاتی

تابع‌های مثلثاتی برای زاویه‌های تند بر اساس رابطه‌های بالا محاسبه می‌شوند. برای زاویه‌های بزرگتر از 90 درجه (π/2 رادیان)، می‌توان از مفهوم دایره مثلثاتی بهره گرفت. در دایره مثلثاتی، هر زاویه‌ای از صفر تا 360 درجه را می‌توان رسم کرد و تابع‌های مثلثاتی آن را به دست آورد. همان گونه که در شکل روبرو دیده می‌شود، تابع‌های مثلثاتی برای زاویه‌های بزرگتر از 90 درجه را می‌توان به صورت تابعی از زاویه‌های کوچکتر از 90 درجه، یافت. برای نمونه، تابع‌های مثلثاتی برای زاویه‌های ربع دوم دایره (90 تا 180 درجه) با دوران دایره مثلثاتی به میزان 90 درجه، به صورت جدول زیر به دست می‌آیند:

دوران π/2
$\begin{align}\sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\\cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\\csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta \\\sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta\end{align}$

تناوبویرایش

نوشتار اصلی: تابع متناوب

تابع‌های مثلثاتی برای زاویه‌های بزرگتر از 360 درجه (2π) و کوچکتر از صفر درجه نیز تعریف می‌شوند. برای هر زاویه 'θ مقدار تابع، برابر با مقدار تابع برای زاویه θ درون دایره (‎0<θ<360) خواهد بود که در رابطه θ'=360+2kθ صدق کند. بنابراین تابع‌های مثلثاتی با یک تناوب مشخص تکرار می‌شوند. دوره تناوب تابع‌های تانژانت و کتانژانت، 180 درجه (π) و دوره تناوب سایر تابع‌ها 360 درجه (2π) است.

تابع وارون

نوشتار اصلی: تابع‌های وارون مثلثاتی

برای تابع‌های مثلثاتی، تابع وارون در بازه مشخصی که شرط یک به یک بودن تابع برقرار باشد، تعریف می‌شود. این تابع‌ها متناظر با تابع اصلی، آرک‌سینوس، آرک‌کسینوس و آرک‌تانژانت نامیده می‌شوند.

روابط اصلی

بعضی از رابطه‌های مثلثاتی برای همه زاویه‌ها بر قرار هستند که به این رابطه‌ها، اتحاد مثلثاتی گفته می‌شود. از جمله، برخی از این اتحادها در تعیین مشخصات مثلث (مانند مساحت و شعاع دایره محیطی) کاربرد دارند و برخی برای محاسبه تابع‌های مثلثاتی برای مجموع یا تفاضل دو زاویه مورد استفاده قرار می‌گیرند.

اتحادهای فیثاغورس

اتحاد اصلی به صورت زیر است:

\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \

می‌توان از اتحاد بالا دو اتحاد دیگر را استخراج نمود:

\sec^2 A - \tan^2 A = 1 \

\csc^2 A - \cot^2 A = 1 \

کاربرد اتحادها در مثلث

قانون سینوس‌ها

با استفاده از قانون سینوس‌ها در هر مثلث دلخواه، می‌توان با معلوم بودن اندازه یک ضلع و دو زاویه مجاور آن، اندازه دو ضلع دیگر را محاسبه نمود. هم‌چنین می‌توان مساحت مثلث (Δ) و شعاع دایره محیطی آن (R) را به دست آورد: